Алексей Мельников родился в 1990 году в Москве. Окончил МССМШ имени Гнесиных (класс Татьяны Шкловской) и Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс профессора Сергея Доренского; занимался также под руководством его ассистентов – Николая Луганского, Павла Нерсесьяна и Андрея Писарева).

​

Лауреат юношеского международного конкурса имени Карла Черни в Праге (II премия), международных конкурсов памяти Веры Лотар-Шевченко в Новосибирске (II премия), в Канту (Италия, I премия), Сан-Марино (I премия, специальные призы зрительских симпатий, критиков и оркестра), Хамамацу (Япония, III премия), Манхэттенского конкурса в Нью-Йорке (I премия; после победы выступил на сцене знаменитого Карнеги-холла с сольным концертом). В 2019 году завоевал III премию и бронзовую медаль XVI Международного конкурса имени П. И. Чайковского.

​

Выступал со многими ведущими оркестрами России (включая Симфонический оркестр Мариинского театра, Госоркестр России имени Е. Ф. Светланова, БСО имени П. И. Чайковского и другие), Румынии, Сан-Марино, Японии; сотрудничал с известными дирижерами, среди которых Валерий Гергиев, Владимир Федосеев, Василий Петренко, Юрий Симонов, Александр Сладковский.

​

Сольные концерты музыканта проходили в городах России, Германии, Италии, Франции, Польши, Испании, Бельгии, США, Японии, Вьетнама, в том числе в Большом зале Московской консерватории, залах Корто в Париже, Бунка Кайкан в Токио, дворце Жофин в Праге, театре Ла Фениче в Венеции. Принимал участие в международных фестивалях в России (в их числе «Звезды белых ночей» в Санкт-Петербурге и Платоновский фестиваль искусств в Воронеже), Италии, Чехии и Франции.

​

В 2017 году записал сольный альбом с музыкой Бетховена и Листа для фирмы ACOUSENCE Record.